Um acnó é um ponto isolado no conjunto de soluções de uma equação polinomial em duas variáveis reais. Termos equivalentes incluem ponto isolado e ponto eremita. Por exemplo, a equação
f ( x , y ) =
y
2
+
x
2
−
x
3
= 0
{\displaystyle f(x,y)=y^{2}+x^{2}-x^{3}=0}
tem um acnó na origem, porque é equivalente a
y
2
=
x
2
( x − 1 )
{\displaystyle y^{2}=x^{2}(x-1)}
e
x
2
( x − 1 )
{\displaystyle x^{2}(x-1)}
é não negativo apenas quando
x ≥ 1
{\displaystyle x\geq 1}
ou
x = 0
{\displaystyle x=0}
. Assim, sobre os números reais, a equação não tem soluções para
x < 1
{\displaystyle x<1}
exceto para (0, 0). Em contraste, sobre os números complexos a origem não é isolada, uma vez que existem raízes quadradas de números reais negativos. De facto, o conjunto de soluções complexas de uma equação polinomial em duas variáveis complexas nunca pode ter um ponto isolado. Um acnó é um ponto crítico, ou singularidade, da função polinomial que o define, no sentido de que ambas as derivadas parciais
∂ f
∂ x
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}
e
∂ f
∂ y
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}
se anulam. Além disso, a matriz hessiana das segundas derivadas será positiva definida ou negativa definida, uma vez que a função deve ter um mínimo local ou um máximo local na singularidade.
Ver também Ponto singular de uma curva Crunode (nó) Cúspide Tacnó
Referências
Porteous, Ian (1994). Geometric Differentiation. [S.l.]: Cambridge University Press. p. 47. ISBN 978-0-521-39063-7
