Em matemática, o lema de normalização de Noether é um resultado de álgebra comutativa, introduzido por Emmy Noether em 1926. Ele afirma que, para qualquer corpo k, e qualquer k-álgebra comutativa finitamente gerada A, existem elementos
y
1
,
y
2
, ... ,
y
d
{\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots ,y_{d}}
em A que são algebricamente independentes sobre k e tais que A é um módulo finitamente gerado sobre o anel de polinômios
S = k [
y
1
,
y
2
, ... ,
y
d
]
{\displaystyle S=k[y_{1},y_{2},\ldots ,y_{d}]}
. O inteiro d é igual à dimensão de Krull do anel A; e se A for um domínio de integridade, d também é o grau de transcendência do corpo de frações de A sobre k. O teorema possui uma interpretação geométrica. Suponha que A seja o anel de coordenadas de uma variedade afim X, e considere S como o anel de coordenadas de um espaço afim de dimensão d,
A
k
d
{\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{d}}
. Então o mapa de inclusão
S ↪ A
{\displaystyle S\hookrightarrow A}
induz um morfismo finito sobrejetivo de variedades afins
X →
A
k
d
{\displaystyle X\to \mathbb {A} _{k}^{d}}
: isto é, qualquer variedade afim é um revestimento ramificado de um espaço afim. Quando k é infinito, tal mapa de revestimento ramificado pode ser construído tomando uma projeção geral de um espaço afim contendo X para um subespaço de dimensão d. Mais geralmente, na linguagem dos esquemas, o teorema pode ser equivalentemente enunciado como: todo k-esquema afim (de tipo finito) X é finito sobre um espaço afim de dimensão n. O teorema pode ser refinado para incluir uma cadeia de ideais de R (equivalentemente, subconjuntos fechados de X) que são finitos sobre os subespaços de coordenadas afins das dimensões correspondentes. O lema de normalização de Noether pode ser usado como um passo importante na demonstração do teorema dos zeros de Hilbert (Nullstellensatz), de David Hilbert, um dos resultados mais fundamentais da geometria algébrica clássica. O teorema de normalização também é uma ferramenta importante no estabelecimento das noções de dimensão de Krull para k-álgebras.
Enunciado e demonstração Teorema. (Lema de Normalização de Noether) Seja k um corpo e
A = k [
y
1
′
, ... ,
y
m
′
]
{\displaystyle A=k[y_{1}',\dots ,y_{m}']}
uma k-álgebra finitamente gerada. Então, para algum inteiro d, com
0 ≤ d ≤ m
{\displaystyle 0\leq d\leq m}
, existem
y
1
, ... ,
y
d
∈ A
{\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{d}\in A}
algebricamente independentes sobre k tais que A é finito (ou seja, finitamente gerado como um módulo) sobre
k [
y
1
, ... ,
y
d
]
{\displaystyle k[y_{1},\ldots ,y_{d}]}
(o inteiro d é então igual à dimensão de Krull de A). Se A for um domínio de integridade, então d é também o grau de transcendência do corpo de frações de A sobre k. A demonstração a seguir é devida a Nagata e aparece no "livro vermelho" de David Mumford. Uma demonstração mais geométrica é dada na página 176 do mesmo livro. Demonstração: Faremos indução sobre m. O caso
m = 0
{\displaystyle m=0}
é
k = A
{\displaystyle k=A}
e não há nada a provar. Assuma
m = 1
{\displaystyle m=1}
. Então
A ≅ k [ y ]
/
I
{\displaystyle A\cong k[y]/I}
como k-álgebras, onde
I ⊂ k [ y ]
{\displaystyle I\subset k[y]}
é algum ideal. Como
k [ y ]
{\displaystyle k[y]}
é um DIP (pois é um domínio euclidiano),
I = ( f )
{\displaystyle I=(f)}
. Se
f = 0
{\displaystyle f=0}
, terminamos; então assuma
f ≠ 0
{\displaystyle f\neq 0}
. Seja e o grau de f. Então A é gerado, como um espaço vetorial sobre k, por
1 , y ,
y
2
, ... ,
y
e − 1
{\displaystyle 1,y,y^{2},\dots ,y^{e-1}}
. Assim, A é finito sobre k. Assuma agora
m ≥ 2
{\displaystyle m\geq 2}
. Se os
y
i
′
{\displaystyle y_{i}'}
são algebricamente independentes, então definindo
y
i
=
y
i
′
{\displaystyle y_{i}=y_{i}'}
, terminamos. Se não, é suficiente provar a afirmação de que existe uma k-subálgebra S de A que é gerada por
m − 1
{\displaystyle m-1}
elementos, tal que A é finito sobre S. De fato, pela hipótese indutiva, podemos encontrar, para algum inteiro d,
0 ≤ d ≤ m − 1
{\displaystyle 0\leq d\leq m-1}
, elementos algebricamente independentes
y
1
, ... ,
y
d
{\displaystyle y_{1},\dots ,y_{d}}
de S tais que S é finito sobre
k [
y
1
, ... ,
y
d
]
{\displaystyle k[y_{1},\dots ,y_{d}]}
. Como A é finito sobre S, e S é finito sobre
k [
y
1
, ... ,
y
d
]
{\displaystyle k[y_{1},\dots ,y_{d}]}
, obtemos a conclusão desejada de que A é finito sobre
k [
y
1
, ... ,
y
d
]
{\displaystyle k[y_{1},\dots ,y_{d}]}
. Para provar a afirmação, assumimos por hipótese que os
y
i
′
{\displaystyle y_{i}'}
não são algebricamente independentes, de modo que existe um polinômio não nulo f em m variáveis sobre k tal que
f (
y
1
′
, ... ,
y
m
′
) = 0
{\displaystyle f(y_{1}',\dots ,y_{m}')=0}
. Dado um inteiro r que será determinado mais tarde, defina
z
i
=
y
i
′
− (
y
1
′
)
r
i − 1
,
2 ≤ i ≤ m ,
{\displaystyle z_{i}=y_{i}'-(y_{1}')^{r^{i-1}},\quad 2\leq i\leq m,}
e, para simplificar a notação, escreva
y ~
=
y
1
′
.
{\displaystyle {\tilde {y}}=y_{1}'.}
Então, o que precede se lê:
f (
y ~
,
z
2
+
y ~
r
,
z
3
+
y ~
r
2
, ... ,
z
m
+
y ~
r
m − 1
) = 0.
( ∗ )
{\displaystyle f({\tilde {y}},z_{2}+{\tilde {y}}^{r},z_{3}+{\tilde {y}}^{r^{2}},\dots ,z_{m}+{\tilde {y}}^{r^{m-1}})=0.\quad (*)}
Agora, se
a
y ~
α
1
∏
2
m
(
z
i
+
y ~
r
i − 1
)
α
i
{\displaystyle a{\tilde {y}}^{\alpha _{1}}\prod _{2}^{m}(z_{i}+{\tilde {y}}^{r^{i-1}})^{\alpha _{i}}}
for um monômio que aparece no lado esquerdo da equação acima, com coeficiente
a ∈ k
{\displaystyle a\in k}
, o termo de maior grau em
y ~
{\displaystyle {\tilde {y}}}
após a expansão do produto tem a forma
a
y ~
α
1
+
α
2
r + ⋯ +
α
m
r
m − 1
{\displaystyle a{\tilde {y}}^{\alpha _{1}+\alpha _{2}r+\cdots +\alpha _{m}r^{m-1}}}
. Sempre que o expoente acima coincidir com o maior expoente de
y ~
{\displaystyle {\tilde {y}}}
produzido por algum outro monômio, é possível que o termo de maior grau em
y ~
{\displaystyle {\tilde {y}}}
de
f (
y ~
,
z
2
+
y ~
r
,
z
3
+
y ~
r
2
, ... ,
z
m
+
y ~
r
m − 1
)
{\displaystyle f({\tilde {y}},z_{2}+{\tilde {y}}^{r},z_{3}+{\tilde {y}}^{r^{2}},\dots ,z_{m}+{\tilde {y}}^{r^{m-1}})}
não tenha a forma acima, porque pode ser afetado por cancelamentos. No entanto, se r for suficientemente grande (por exemplo, podemos definir
r = 1 + deg f
{\displaystyle r=1+\deg f}
), então cada
α
1
+
α
2
r + ⋯ +
α
m
r
m − 1
{\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}r+\cdots +\alpha _{m}r^{m-1}}
codifica um número único na base r, de modo que isso não ocorre. Para tal r, seja
c ∈ k
{\displaystyle c\in k}
o coeficiente do único monômio de f de multigrau
(
α
1
, ... ,
α
m
)
{\displaystyle (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{m})}
para o qual a quantidade
α
1
+
α
2
r + ⋯ +
α
m
r
m − 1
{\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}r+\cdots +\alpha _{m}r^{m-1}}
é máxima. A multiplicação de
( ∗ )
{\displaystyle (*)}
por
1
/
c
{\displaystyle 1/c}
fornece uma equação de dependência inteira de
y ~
{\displaystyle {\tilde {y}}}
sobre
S = k [
z
2
, ... ,
z
m
]
{\displaystyle S=k[z_{2},\dots ,z_{m}]}
, ou seja,
y
1
′
( =
y ~
)
{\displaystyle y_{1}'(={\tilde {y}})}
é inteiro sobre S. Além disso, como
A = S [
y
1
′
]
{\displaystyle A=S[y_{1}']}
, A é de fato finito sobre S. Isso completa a prova da afirmação, logo concluímos a primeira parte. Além disso, se A é um domínio de integridade, então d é o grau de transcendência de seu corpo de frações. De fato, A e o anel de polinômios
S = k [
y
1
, ... ,
y
d
]
{\displaystyle S=k[y_{1},\dots ,y_{d}]}
têm o mesmo grau de transcendência (ou seja, o grau do corpo de frações), uma vez que o corpo de frações de A é algébrico sobre o de S (pois A é inteiro sobre S) e S tem grau de transcendência d. Assim, resta mostrar que a dimensão de Krull de S é d. (Isso também é uma consequência da teoria da dimensão.) Faremos indução sobre d, sendo o caso
d = 0
{\displaystyle d=0}
trivial. Como
0 ⊊ (
y
1
) ⊊ (
y
1
,
y
2
) ⊊ ⋯ ⊊ (
y
1
, ... ,
y
d
)
{\displaystyle 0\subsetneq (y_{1})\subsetneq (y_{1},y_{2})\subsetneq \cdots \subsetneq (y_{1},\dots ,y_{d})}
é uma cadeia de ideais primos, a dimensão é de pelo menos d. Para obter a estimativa inversa, seja
0 ⊊
p
1
⊊ ⋯ ⊊
p
m
{\displaystyle 0\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{m}}
uma cadeia de ideais primos. Seja
0 ≠ u ∈
p
1
{\displaystyle 0\neq u\in {\mathfrak {p}}_{1}}
. Aplicamos a normalização de Noether e obtemos
T = k [ u ,
z
2
, ... ,
z
d
]
{\displaystyle T=k[u,z_{2},\dots ,z_{d}]}
(no processo de normalização, somos livres para escolher a primeira variável) de tal modo que S seja inteiro sobre T. Pela hipótese indutiva,
T
/
( u )
{\displaystyle T/(u)}
tem dimensão
d − 1
{\displaystyle d-1}
. Pela incomparabilidade,
p
i
∩ T
{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}\cap T}
é uma cadeia de comprimento
m
{\displaystyle m}
e, então, em
T
/
(
p
1
∩ T )
{\displaystyle T/({\mathfrak {p}}_{1}\cap T)}
, ela se torna uma cadeia de comprimento
m − 1
{\displaystyle m-1}
. Uma vez que
dim T
/
(
p
1
∩ T ) ≤ dim T
/
( u )
{\displaystyle \operatorname {dim} T/({\mathfrak {p}}_{1}\cap T)\leq \operatorname {dim} T/(u)}
, temos
m − 1 ≤ d − 1
{\displaystyle m-1\leq d-1}
. Portanto,
dim S ≤ d
{\displaystyle \dim S\leq d}
.
◻
{\displaystyle \square }
Refinamento O seguinte refinamento aparece no livro de Eisenbud, que se baseia na ideia de Nagata:
Geometricamente falando, a última parte do teorema diz que para
X = Spec A ⊂
A
m
{\displaystyle X=\operatorname {Spec} A\subset \mathbf {A} ^{m}}
qualquer projeção linear geral
A
m
→
A
d
{\displaystyle \mathbf {A} ^{m}\to \mathbf {A} ^{d}}
induz um morfismo finito
X →
A
d
{\displaystyle X\to \mathbf {A} ^{d}}
(cf. o parágrafo inicial); além de Eisenbud, veja também [1].
Aplicação ilustrativa: liberdade genérica Uma aplicação não trivial típica do lema de normalização é o teorema da liberdade genérica: Sejam A e B anéis tais que A é um domínio de integridade noetheriano e suponha que exista um homomorfismo de anéis
A → B
{\displaystyle A\to B}
que exiba B como uma álgebra finitamente gerada sobre A. Então existe algum
0 ≠ g ∈ A
{\displaystyle 0\neq g\in A}
tal que
B [
g
− 1
]
{\displaystyle B[g^{-1}]}
é um A[g−1]-módulo livre. Para provar isso, seja F o corpo de frações de A. Argumentamos por indução sobre a dimensão de Krull de
F
⊗
A
B
{\displaystyle F\otimes _{A}B}
. O caso base ocorre quando a dimensão de Krull é
− ∞
{\displaystyle -\infty }
; ou seja,
F
⊗
A
B = 0
{\displaystyle F\otimes _{A}B=0}
; o que significa que existe algum
0 ≠ g ∈ A
{\displaystyle 0\neq g\in A}
tal que
g B = 0
{\displaystyle gB=0}
, de modo que
B [
g
− 1
]
{\displaystyle B[g^{-1}]}
é livre como um A[g−1]-módulo. Para o passo indutivo, observe que
F
⊗
A
B
{\displaystyle F\otimes _{A}B}
é uma F-álgebra finitamente gerada. Assim, pelo lema de normalização de Noether,
F
⊗
A
B
{\displaystyle F\otimes _{A}B}
contém elementos algebricamente independentes
x
1
, ... ,
x
d
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{d}}
tais que
F
⊗
A
B
{\displaystyle F\otimes _{A}B}
é finito sobre o anel polinomial
F [
x
1
, ... ,
x
d
]
{\displaystyle F[x_{1},\dots ,x_{d}]}
. Multiplicando cada
x
i
{\displaystyle x_{i}}
por elementos de A, podemos assumir que os
x
i
{\displaystyle x_{i}}
estão em B. Agora consideramos:
A ′
:= A [
x
1
, ... ,
x
d
] → B .
{\displaystyle A':=A[x_{1},\dots ,x_{d}]\to B.}
Agora, B pode não ser finito sobre A, mas se tornará finito após invertermos um único elemento, como segue. Se b for um elemento de B, então, como um elemento de
F
⊗
A
B
{\displaystyle F\otimes _{A}B}
, ele é inteiro sobre
F [
x
1
, ... ,
x
d
]
{\displaystyle F[x_{1},\dots ,x_{d}]}
; isto é,
b
n
+
a
1
b
n − 1
+ ⋯ +
a
n
= 0
{\displaystyle b^{n}+a_{1}b^{n-1}+\dots +a_{n}=0}
para alguns
a
i
{\displaystyle a_{i}}
em
F [
x
1
, ... ,
x
d
]
{\displaystyle F[x_{1},\dots ,x_{d}]}
. Assim, algum
0 ≠ g ∈ A
{\displaystyle 0\neq g\in A}
anula todos os denominadores dos coeficientes
a
i
{\displaystyle a_{i}}
, e portanto b é inteiro sobre
A ′
[
g
− 1
]
{\displaystyle A'[g^{-1}]}
. Escolhendo um número finito de geradores de B como uma A-álgebra e aplicando essa observação a cada gerador, encontramos algum
0 ≠ g ∈ A
{\displaystyle 0\neq g\in A}
tal que
B [
g
− 1
]
{\displaystyle B[g^{-1}]}
é inteiro (e portanto, finito) sobre
A ′
[
g
− 1
]
{\displaystyle A'[g^{-1}]}
. Substituímos B, A por
B [
g
− 1
]
{\displaystyle B[g^{-1}]}
,
A [
g
− 1
]
{\displaystyle A[g^{-1}]}
e então podemos assumir que B é finito sobre
A ′
:= A [
x
1
, ... ,
x
d
]
{\displaystyle A':=A[x_{1},\dots ,x_{d}]}
. Para finalizar, considere uma filtração finita
B =
B
0
⊃
B
1
⊃
B
2
⊃ ⋯ ⊃
B
r
{\displaystyle B=B_{0}\supset B_{1}\supset B_{2}\supset \cdots \supset B_{r}}
por submódulos de A tal que
B
i
/
B
i + 1
≃
A ′
/
p
i
{\displaystyle B_{i}/B_{i+1}\simeq A'/{\mathfrak {p}}_{i}}
para ideais primos
p
i
{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}
(tal filtração existe pela teoria dos primos associados). Para cada i, se
p
i
≠ 0
{\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}\neq 0}
, por hipótese indutiva, podemos escolher algum
g
i
≠ 0
{\displaystyle g_{i}\neq 0}
em A tal que
A ′
/
p
i
[
g
i
− 1
]
{\displaystyle A'/{\mathfrak {p}}_{i}[g_{i}^{-1}]}
seja livre como um módulo sobre
A [
g
i
− 1
]
{\displaystyle A[g_{i}^{-1}]}
, enquanto A é um anel polinomial e, portanto, livre. Consequentemente, com
g =
g
0
⋯
g
r
{\displaystyle g=g_{0}\cdots g_{r}}
,
B [
g
− 1
]
{\displaystyle B[g^{-1}]}
é um módulo livre sobre
A [
g
− 1
]
{\displaystyle A[g^{-1}]}
.
◻
{\displaystyle \square }
Referências
Bibliografia David Eisenbud (1995). Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry. Col: Graduate Texts in Mathematics. 150. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94268-8. MR 1322960. Zbl 0819.13001 David Mumford (1988). The Red Book of Varieties and Schemes. Col: Lecture Notes in Mathematics. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-662-21581-4 Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Noether theorem», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer . Nota: o lema está nos comentários de atualização. Emmy Noether (1926). «Der Endlichkeitsatz der Invarianten endlicher linearer Gruppen der Charakteristik p». Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen: 28–35. Arquivado do original em 8 de março de 2013
Leitura complementar Robertz, D.: Noether normalization guided by monomial cone decompositions. Journal of Symbolic Computation 44(10), 1359–1373 (2009)
